Vistas de página en total

25 octubre 2006

El principio de dualidad

La presente entrada solo tiene la función de constatar que es posible que dos rectas paralelas se junten en el infinito. Creo que será de provecho para algunos. No diré más, los aludidos saben que disponen de un espacio en el blog para dejar sus comentarios:

En el plano euclídeo habitual es evidente que dos puntos definen una recta, justo aquella que los contiene. Al revés, sin embargo, no es cierto, pues dos rectas, además de cortarse y definir por tanto un punto, también pueden ser paralelas.
Esta excepción desaparece en el caso del plano proyectivo, pues en él, por definición, cada haz de rectas paralelas define un punto del infinito, por lo que se dice aquello de que las rectas paralelas se cortan "en el infinito".
La completa simetría de estas dos proposiciones ("dos puntos definen una recta", "dos rectas definen un punto") en el plano proyectivo es la base del principio de dualidad, truco genial por el cual todo lo que se dice de los puntos puede decirse de las rectas, y al revés (esta simetría puede entenderse si pensamos que para situar un punto en el plano se necesitan dos números, sus coordenadas, y para situar una recta, igualmente dos números: su pendiente y su ordenada en el origen). (...)"

10 comentarios:

  1. Anónimo9:23 p. m.

    Para la Ciencia Clásica, el universo se puede modelar con la geometría euclideana. Sin embargo, ahora se sabe que la naturaleza favorece el CAOS y no la "perfección", ya que ese caos es el que permite la aparición de sistemas físicos y biológicos viables. Por ejemplo, los alveolos siguen una "distribución" que resuelve de una manera elegante y eficiente el problema ingenieril sobre como presentar la mayor área expuesta dentro del menor volumen posible (al igual que la corteza cerebral).
    Cuando Riemann demostró que la geometría sólo es una creación mental y arbitraria, las matemáticas se tambalearon y comenzó el estudio de nuevos tipos de geometría:
    * Geometría Esférica (curvatura positiva): donde dos líneas paralelas terminan cortándose
    * Geometría Hiperbólica (curvatura negativa): donde dos líneas paralelas cada vez se separan más, etc.

    Muy interesante el tema, pero ....no fácil de explicar.

    ResponderEliminar
  2. Anónimo2:08 p. m.

    a ver: si dos rectas separadas por 10 cm, se acercan a razón de 2 cm por centimetro, se cortarán en 10/2 = 5 centimetros

    si dos rectas paralelas separadas por 10 cm, se acercan a razón de 0 cm por centimetro, se cortarán en 10/0 = infinito

    ResponderEliminar
  3. Anónimo2:09 p. m.

    Bueno, decir que dos rectas se cortan en infinito es equivalente a decir que nunca se cortan...

    ResponderEliminar
  4. ¡Debería repasar mi geometría! Y si recordamos el lema de la Academia platónica: "Nadie entre sin saber geometría" debería abandonar mi rudimentaria filosofía y dedicarme a otra cosa.

    Al menos quería que se oyera que, en efecto, "las paralelas solo se cortan en el infinito".

    ResponderEliminar
  5. Anónimo6:17 a. m.

    em gracias por la información, solamente creo que sería bueno que se explicase mas sencillamente ya que, aunqeu logré entender el concepto (o al menos la mayoría), a los adolescentes que solo buscamos entenderle a la tarea de química se nos hes muy complejo y difuso. De todos modos gracias

    ResponderEliminar
  6. Anónimo6:17 a. m.

    em gracias por la información, solamente creo que sería bueno que se explicase mas sencillamente ya que, aunqeu logré entender el concepto (o al menos la mayoría), a los adolescentes que solo buscamos entenderle a la tarea de química se nos hes muy complejo y difuso. De todos modos gracias

    ResponderEliminar
  7. Anónimo3:30 p. m.

    Este comentario ha sido eliminado por un administrador del blog.

    ResponderEliminar
  8. Anónimo7:29 a. m.

    Genial brief and this fill someone in on helped me alot in my college assignement. Thanks you seeking your information.

    ResponderEliminar
  9. Anónimo11:28 p. m.

    dos lineas paralelas: eternamente serán paralelas, si seguimos considerándolas paralelas eternamente. No hay más misterio.

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Hablamos del plano proyectivo... Además la definición dice que "solo" se cortan en el infinito. No dice que se corten.

      Eliminar

Site Meter